Ainda quando estudante do primeiro grau, travei pela primeira vez contato com este interessante assunto, mas confesso que ainda não possuía as condições intelectuais necessárias para estudá-lo de uma forma mais profunda. O tempo passava e, aqui ou acolá, conversando com colegas de profissão, alguém levantava assuntos relacionados com o tema em questão.

Eis que surgiu, no Curso que agora findamos, mais precisamente na disciplina Metodologia do Ensino de Matemática, a oportunidade de termos contato novamente com os quadrados mágicos. E aquelas aulas que tivemos em setembro de 1998 foram fundamentais para a escolha do tema deste trabalho.

Mas, afinal, quais são os objetivos do autor destas linhas em tão desprezado tema, sobre o qual os livros didáticos jamais dedicam uma linha sequer, de uma forma geral?

Na realidade a bibliografia sobre o assunto "quadrados mágicos" é muito escassa, daí a dificuldade para discorrer melhor sobre o assunto, apesar de o mesmo ser muito antigo e termos visto que grandes matemáticos se interessaram pelo tema, a exemplo do matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).

Creio que determinados assuntos sobre jogos , quadrados mágicos, por exemplo, poderiam e deveriam ser mais explorados pelos professores no dia a dia da sala de aula. Citamos a antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas, onde o xadrez é disciplina obrigatória. O xadrez, assim como os quadrados mágicos levam os alunos a refletirem, a raciocinarem e a fazer uso da lógica. É desnecessário falarmos acerca do entrosamento e da irmandade existente entre a lógica e matemática, pois ambas chegam a se confundirem muitas vezes. Segundo o matemático Karl Poppev " as fronteiras entre a Matemática e a Lógica, nunca foram demarcadas. Não sabemos onde termina a Matemática e começa a Lógica, e reciprocamente".

O estudo dos quadrados mágicos, além disto, está longe de ser um assunto tedioso, antes, é um assunto de fácil abordagem e que desperta a curiosidade até mesmo daqueles que não são estudantes de matemática.

No estudo que fazemos abordamos os quadrados mágicos ditos puros e também aqueles que são considerados não-puros, ou imperfeitos. Isto ocorre porque julgamos o estudo do segundos, além de interessante, não menos importante que o estudo dos primeiros.

Nos dias atuais os quadrados mágicos perderam o valor que possuíam como motivo de crenças misteriosas, mas em compensação a ciência lhes dedica atenção pois os quadrados mágicos são muito usados para projetar experiências que dependem de estatísticas.( Cf. Enciclopédia Conhecer, página 940) . Ainda discorrendo sobre a importância científica dos quadrados mágicos : " A teoria dos quadrados mágicos vem sendo formulada desde que Moschopulus publicou o Tratado de Quadrados Mágicos(1420), cujo interesse era basicamente recreativo. Mais tarde, no século XVIII, o suíço Leonhard Euler desenvolveu essa teoria, aproximando seu estudo do cálculo das matrizes e determinantes – o que quer dizer que existem quadrados muito mais complexos do que aqueles apenas recreativos".(Enciclopédia Conhecer Universal – 1982)

Pouco se conhece ainda hoje em dia sobre a história primitiva dos quadrados mágicos, porém sua origem parece situar-se na China. Existem estudiosos do assunto que afirmam terem os mesmos (quadrados mágicos) surgido há cerca de 3000 anos na China, e ainda, segundo estes, também na Índia. Os quadrados mágicos são arranjos quadrados de numerais em que as linhas, colunas e diagonais têm a mesma soma. E o nome quadrado mágico foi dado a este tipo especial de arranjo geométrico porque se acreditava que tivessem poderes especiais.

O exemplo abaixo, em notação numeral moderna, é atribuído ao imperador-engenheiro Yu, o Grande (c. 2200 A.C.). E, segundo diz a tradição, quando Yu estava observando o rio Amarelo, surgiu uma tartaruga divina, em cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo o nome de lo shu. Por isto, há muitos e muitos anos os chineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidade para toda a vida.

Os quadrados mágicos foram se propagando, chegando posteriormente ao Japão, Índia e Oriente Médio, locais ligados ao misticismo. Apareceram na Arábia durante o século IX e na Índia durante o século XI ,ou até antes, e foram encontrados em escritos hebreus do século XII. Hoje em dia os quadrados mágicos servem de amuletos no Tibete, na Índia e em grande parte do sudeste da Ásia. Eram usados como talismãs, e a crença em seus poderes mágicos perduraria durante toda a Idade Média e mesmo no Renascimento, quando os matemáticos os tomaram como objetos de estudo.

A introdução dos quadrados mágicos na Europa é atribuída ao escritor bizantino Manuel Moschopoulos, que os citou em sua obra intitulada " Tratado de Quadrados Mágicos" , isto durante o século XV. Moschopoulos viveu em Constantinopla numa época incerta, constando, apenas, que morreu na Itália em 1460.

Os quadrados mágicos eram relacionados com a alquimia e a astrologia, e um quadrado mágico gravado numa placa de prata era usado como amuleto contra a peste.

Mas, afinal, quando é que temos notícia da primeira impressão de um quadrado mágico? A história nos diz que o pintor e gravador alemão do Renascimento Albrecht Dürer em sua gravura intitulada Melancolia, datada de cerca de 1500, nos traz impresso um dos primeiros quadrados mágicos. Este quadrado mágico tinha quatro numerais horizontais e quatro outros dispostos verticalmente, sendo as somas iguais a 34.Ver a gravura no anexo 4 à página 37 .

No livro "História da Matemática", de autoria de Carl M. Boyer, está escrito à página 216 : "(...) A mesma combinação de interesses matemáticos e artísticos se encontra em Albrecht Dürer, um contemporâneo de Leonardo(da Vinci) e conterrâneo de Werner em Nuremberg. Na obra de Dürer vemos também a influência de Pacioli, especialmente na célebre gravura de 1514 intitulada Melancolia. Aqui o quadrado mágico tem presença proeminente. Esse é considerado freqüentemente o primeiro uso do quadrado mágico no Ocidente.(..)". E a página seguinte do citado livro traz o desenho do quadrado, que transcrevemos abaixo:

Edwaldo Bianchini escreve que "Os primeiros trabalhos a respeito de tabelas numéricas aconteceram na China antiga. Os calculistas daquela época se interessavam bastante pelo estudo dos quadrados mágicos," (Bianchini – Matemática, vol.2, 1995).

Ainda com relação à história dos quadrados mágicos, sabe-se que durante o século XVII a teoria matemática da construção dos quadrados mágicos foi estudada seriamente na França. O Rei Luís XIV enviou Antoine de La Loubère para o Sião por volta de 1687-88 e este descobriu um método de construir quadrados mágicos de qualquer ordem ímpar, o que, convenhamos, tratou-se de uma grande conquista.

Por esta mesma época, ou seja, em 1686, um polonês chamado Adamas Kochansky conseguiu estender o estudo dos quadrados mágicos a três dimensões. O interesse por quadrados mágicos voltou a surgir no final do século XIX, quando os quadrados foram aplicados na resolução de problemas de probabilidade e análise. Conclui-se, portanto, que a idéia dos quadrados mágicos que possui raízes profundas no misticismo e foi freqüentemente considerada como mero passatempo, acabou se tornando uma parte importante da matemática contemporânea.

Um quadrado mágico é uma tabela de números dispostos na forma de um quadrado, de tal modo que a soma dos elementos de uma linha, coluna ou diagonal seja uma constante. Estes números devem ser inteiros e consecutivos, começados por 1. Quando o quadrado não respeita a definição dada anteriormente, recebe o nome de quadrado imperfeito, defeituoso ou não puro. Ou ainda , segundo Malba Tahan: " quando os elementos de um quadrado mágico não são números tomados na ordem natural (1,2,3,4,5...) o quadrado é denominado quase-mágico ". Mais adiante, citamos três exemplos de quadrados , sendo o primeiro exemplo de uma quadrado mágico puro de ordem três e os dois seguintes de quadrados imperfeitos de ordem três e quatro respectivamente :

Podemos dizer, ainda, que um quadrado mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n² numa matriz nxn, onde cada número ocorre apenas uma vez e este arranjo é tal que a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à soma dos números existentes em qualquer coluna como também em qualquer das diagonais. As diagonais são formadas pelas casas – ou células – que vão de um vértice a outro do quadrado. Podemos partir do princípio que o valor desta soma deve ser igual a n(n² + 1)/2 , sendo esta uma definição mais rigorosa sobre quadrado mágico, pois neste caso não pode ocorrer nem a repetição de números nem a ocorrência do número 0(zero). Ocorre porém que muitos autores aceitam não apenas a inclusão do número 0(zero) quanto também a repetição de números, desde que as condições das somas sejam satisfeitas com relação às linhas, colunas e diagonais. A estes quadrados mágicos assim obtidos é dado o nome de quadrados mágicos não puros, conforme dito anteriormente. Existem, ainda, quadrados mágicos que apresentam mais propriedades que as normalmente apresentadas e recebem o nome de hipermágicos.

A ordem n de um quadrado mágico é o número de colunas ou de linhas que este comporta.

Ao valor n(n² + 1)/2, que deve ser constante para cada quadrado mágico, é dado o nome de constante mágica ou solução, sendo igual ao valor da soma de cada linha ou coluna.

Podemos, ainda, dizer que o valor secreto que chamaremos de v, de um quadrado mágico é igual à soma de todos os números que este contém, e cujo valor pode ser dado por v=n² (n² + 1)/2.

Abaixo elaboramos uma tabela com a ordem, a solução e o valor secreto para os 20 primeiros quadrados mágicos:

Sob a ótica deste princípio podemos afirmar que o mais simples dos quadrados mágicos seria o quadrado 1x1 descrito abaixo:

S=1x(1² + 1)/2.

Foi utilizada a palavra seria com relação a este quadrado mágico de ordem 1, pois muitos estudiosos da Matemática falam de sua inexistência, ou seja, não o aceitam como sendo um quadrado mágico válido, pois nem sequer é possível pensar em soma, neste caso. Ainda com relação ao quadrado de ordem 1, encontramos no livro " As Maravilhas da Matemática" de Malba Tahan à página 93: "...Segundo Cornélio Agripa(1486-1535), que era médico e matemático, o quadrado de ordem 1 (com uma casa) simbolizava a Eternidade."

E quanto ao quadrado mágico de ordem 2, que seria, de acordo com a definição o próximo quadrado ? É fácil verificarmos sua inexistência através da prática, pois é impossível encontramos números distintos que preencham as condições impostas para sua existência, qual seja a de que a soma dê a mesma tanto em relação às linhas, quanto às colunas e às diagonais. Com relação ao quadrado de ordem 2, encontramos no livro anteriormente citado " As Maravilhas da Matemática" à página 93: "...Segundo Cornélio Agripa(1486-1535)...(...) O quadrado de módulo 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, o ar, a terra, o fogo e a água – e por causa das imperfeições desses elementos o quadrado mágico não poderia ter constante certa."

Sendo assim, a teoria dos quadrados mágicos tem como ponto de partida o quadrado mágico de ordem 3, e por ser este o ponto de partida, é conhecido como quadrado fundamental:

S= 3x(3² +1)/2.

E aqueles derivados deste por simetria. Notemos que este quadrado satisfaz a definição dada acima.

Construir um quadrado mágico é obter aquele (quadrado) que venha a satisfazer as condições pré – estabelecidas. Exemplificaremos com a construção de um quadrado de ordem 3, que é o mais simples.

Existem várias maneiras de tentarmos resolver este problema, entre as quais podemos citar:

a).resolver um sistema de equações com nove variáveis porém que só possui oito equações, pois são oito somas que vão dar 15 por resultado. Claro está que esta maneira deve ser descartada.

b).tentar trabalhar utilizando tentativas ao preencher as nove células do quadrado. Quanto a este método, não é preciso irmos longe para descartá-lo, pois no quadrado mágico de ordem três, que é o mais simples, teremos nove maneiras distintas de preenchermos a primeira célula, oito de preenchermos a segunda, sete de preenchermos a terceira... A Análise Combinatória nos mostra que haverá 1x2x3x4x5x6x7x8x9 somas possíveis ou seja, 181440 resultados diferentes. Quem escolhesse esse método, se gastasse , digamos, 20 segundos para escolher os números e verificar a soma dos mesmos, levaria cerca de 40 dias de trabalho contínuo! Já imaginamos o que ocorreria quando esta pessoa tentasse encontrar o quadrado de 121 células, encontrado adiante, que construímos em poucos minutos e ilustra este trabalho.

É necessário, portanto, que recorramos a métodos mais simples e inteligentes.

Na Revista do Professor da matemática, número 39, pág. ,existe um interessante artigo que nos fala acerca de quadrados mágicos. Este artigo nos diz como construir um quadrado mágico de ordem cinco, e o transcreveremos abaixo ipsis litris .

A B

Q C

"Para construir um quadrado 5x5 escrevemos os números de 1 a 25 no quadrado Q do seguinte modo:

Começamos colocando o 1 na casa central da primeira linha de Q e andamos duas casas para cima e uma para a direita para colocar os números seguintes. Se um número cai fora do quadrado Q, ficando nos quadrados A, B ou C, voltamos com o número na casa correspondente no quadrado Q.

Veja por exemplo, a colocação do 2. Se encontramos uma casa ocupada, como, por exemplo, na colocação do número 6 a casa a ser usada já está ocupada pelo 1. Escrevemos então o número ( no caso o 6 ) na casa abaixo do número anterior ( no caso o 5) e continuamos com a regra inicial. Completado o quadrado, obtemos soma 65 em todas as linhas, colunas e diagonais. ( Enviado por Hideo Kumayama).

Uma outra maneira de montar o quadrado é a seguinte:

Começamos na mesma casa que o quadrado anterior, mas os movimentos para colocação dos números seguintes são sempre para a direita, em diagonal. As outras regras são mantidas como acima.

Você pode, agora, montar quadrados 7x7, 9x9,....

Que tal ?" (Extraído do livro'Matematical Recreations' de M. Kraitchik, publicado pela Dover Publications.Inc).

A B

Q C

E foi justamente isto que o autor desta monografia procurou fazer, aceitando a sugestão e construindo , como exemplo, quadrados com 9, 49 , 81 e também com 121 células. Construí os quadrados seguintes usando a segunda maneira descrita acima e aproveitei a oportunidade para fazer observações acerca de cada quadrado construído.

O que podemos observar de interessante no quadrado acima? Entre outras coisas podemos verificar que :

a)os números 4, 5 e 6 formam uma progressão aritmética de razão 1;

b) que a soma 8+2 = 6+4 = 3+7 eh igual ao valor do termo central dividido por dois, ou seja, este termo(central) é a média aritmética da soma de dois valores "simétricos" a ele;

c)os números 2, 5 e 8 também formam uma progressão aritmética , cuja razão é igual a 3.

d)os elementos da coluna onde se encontra o valor central(5) formam uma P.A de razão igual a 4, ou seja , igual ao valor (n+1) sendo n o número de linhas ou colunas.

A B

Q C

Podemos observar que este quadrado satisfaz a condição afirmada anteriormente que nos diz ser S=n(n² + 1)/n, onde n é o número de linhas(ou colunas) e S é a soma de todos os números do quadrado mágico. Notemos que, ainda, 25=S/49, sendo este o valor do termo que fica no centro do quadrado.

Os elementos22,23,24,25,26,27 e 28 formam uma progressão aritmética de razão unitária.

Podemos observar que, também neste caso, a soma de dois elementos "simétricos" ao termo central 25 é uma constante, no caso a média aritmética da soma deste dois valores.(22+28 = 27+23= 30+20= 45+5= 14+36=....).

Vemos, ainda, que os elementos da coluna onde está o elemento central, ou seja, a coluna central, formam estes elementos uma P.A de razão igual a 8, ou seja igual a n+1, sendo n igual ao número de linhas(ou colunas).

O primeiro elemento da diagonal secundária, a contar de baixo para cima, é igual a 22, ou seja, assume o valor n(n-1)/2 + 1.

Podemos observar que:

a).37,38,39,.......,44 e 45 formam ,ainda ,uma progressão aritmética de razão unitária.

b).A soma de dois elementos "simétricos" ao termo central (41) do quadrado é uma constante.

c). Verificamos, também que os elementos da coluna central formam uma P.A de razão igual a n+1, no caso igual a 10 .

d). o elemento igual a 37 é o valor de n(n - 1)/2 +1.

a)Os números que constituem uma das diagonais do quadrado (56,57,58,....,66) formam uma progressão aritmética de razão 1;

b)O número que ocupa a posição central do quadrado, no caso o número 61, continua sendo a média aritmética de todos os números (incluindo ele) que formam o quadrado mágico; No caso, 61 = 7381/121;

c)Continua valendo aquela propriedade , qual seja a de que a média aritmética de dois elementos "simétricos" ao termo central é igual ao valor do termo central, no caso: (7+115)/2=(20+102)/2=(56+66)/2=.....=61;

d)Os números da sexta coluna constituem uma P.A de razão igual a 12, mantendo a lei de formação anteriormente citada, qual seja n+1.

e)o elemento 56 continua sendo igual a n(n -1)/2 + 1.

Se por um lado a construção de qualquer quadrado de ordem ímpar é uma tarefa relativamente fácil, o mesmo não ocorre quando abordamos os quadrados de ordens pares.

Descrevemos abaixo uma maneira de construir quadrados de algumas ordens pares. O autor desta linhas aproveita para, em seguida, construir quadrados mágicos de ordem 4, 8 e 12:

Devemos agora, trocar os cinqüenta por cento centrais das linhas (2 e 3 por 14 e 15 e 7 e 6 por 11 e 10), obtendo o quadrado mágico procurado.

Podemos observar que a soma de dois números que estão à mesma distância dos extremos é a mesma, e, no caso, igual à soma dos próprios extremos. Assim temos que 7+10=11+6=13+4=1+16= 17

Também aqui podemos observar que, a contar de cima para baixo, as duas primeiras linhas ( vinte e cinco por cento das linhas) foram preenchidas colocando-se os vinte e cinco por cento dos primeiros números do quadrado , em ordem crescente, da esquerda para a direita. As quatro linhas seguintes ( cinqüenta por cento do total dos números) foram preenchidas colocando-se os números da direita para a esquerda, e , finalmente, os vinte e cinco por cento dos números restantes foram colocados da esquerda para a direita, tal qual ocorrera quando construímos o quadrado de ordem 4 anterior. Feito isso, notamos que em todas as colunas já atingimos a soma procurada, que será igual a 260. Resta fazer a compensação entre as linhas para que estas atinjam o mesmo valor. Vamos fazer, novamente, a permuta entre as quatro colunas centrais, que correspondem a , igualmente, cinqüenta por cento das colunas, de tal forma que os quatro elementos centrais da primeira linha ocupem o lugar dos quatro correspondentes da última linha, os da segunda linha ocupem o lugar dos elementos da penúltima, os da terceira ocupem os lugares dos elementos da antepenúltima linha e assim por diante.

Feito isto, teremos o quadrado mágico de ordem 8 procurado:

Notamos que, aqui também, a soma de dois elementos eqüidistantes dos extremos é a mesma, no caso esta é igual a 65.